Question

已知直线l：y=x+2，与抛物线x²=y交于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）两点，l与x轴交于点C（x_C，0）．
（1）求证：

1

xA

+

1

xB

=

1

xC

；
（2）求直线l与抛物线所围平面图形的面积；
（3）某同学利用TI-Nspire图形计算器作图验证结果时（如图1所示），尝试拖动改变直线l与抛物线的方程，发现

1

xA

+

1

xB

与

1

xC

的结果依然相等（如图2、图3所示），你能由此发现出关于抛物线的一般结论，并进行证明吗？

Answer 1

分析：（1）联立直线与抛物线可得A，B的横坐标，利用条件验证即可得到结论；
（2）利用定积分知识可求直线l与抛物线所围平面图形的面积；
（3）设出直线的一般式与抛物线联立，利用韦达定理，即可证明结论．

解答：（1）证明：由

y=x+2 x2=y

，解得

x=-1 y=1

，

x=2 y=4

…（2分）
不妨设x_A=-1，x_B=2，
对于直线l，令y=0，得x_C=-2…（3分）
左边=

1

xA

+

1

xB

=-1+

1

2

=-

1

2

，右边=

1

xC

=-

1

2

，
左边=右边，原命题得证…（4分）
（2）解：S=

∫

2 -1

(x+2-x2)dx=

x2

2

+2x-

x3

3

|

2 -1

=(2+4-

8

3

)-(

1

2

-2+

1

3

)=

9

2

…（7分）
（3）解：结论：已知直线l：y=kx+b，与抛物线x²=y交于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）两点，l与x轴交于点C（x_C，0），则

1

xA

+

1

xB

=

1

xC

…（9分）
证明：

y=kx+b x2=y

，x²-kx-b=0，x_A+x_B=k，x_Ax_B=-b…（11分）
对于直线l，令y=0，得xC=-

b

k

…（12分）
左边=

1

xA

+

1

xB

=

xA+xB

xAxB

=

k

-b

=-

k

b

，右边=

1

xC

=

1

- b k

=-

k

b

，
左边=右边，原命题得证…（14分）

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查定积分知识，考查韦达定理的运用，考查学生的探究能力，属于中档题．