Question

【题目】如图，平面分别是上的动点，且.

（1）若平面与平面的交线为，求证：；

（2）当平面平面时，求平面与平面所成的二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）首先由线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理即可得证；

（2）以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；

解：（1）由，

又平面，平面，所以平面.

又平面，且平面平面，

故.

（2）因为平面，所以，又，所以平面，

所以，又，所以.

若平面平面，则平面，所以，

由且，

又，所以.

以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴，以过点且垂直于的直线为轴建立空间直角坐标系，

则 ，，设

则

由，可得，，即，所以可得，所以，

设平面的一个法向量为，则

，，，取，得

所以

易知平面的法向量为，

设平面与平面所成的二面角为，

则，

结合图形可知平面与平面所成的二面角的余弦值为.