Question

11．已知f（x）=2cos$\frac{x}{2}$（$\sqrt{3}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{x}{2}$）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，AB=1，f（C）=$\sqrt{3}$+1，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求sinA+sinB．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得：f（x）=-2sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{3}$≤2kπ$+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间．
（2）由f（C）=$\sqrt{3}+1$，结合C的范围，可求C的大小，由S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可求ab，由余弦定理可求a²+b²=7，从而可得a+b=$\sqrt{3}+2$，由正弦定理即可得解．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$cosx-sinx=-2sin（x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$，…（3分）
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{3}$≤2kπ$+\frac{3π}{2}$，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间为[2kπ+$\frac{5π}{6}$，2kπ$+\frac{11π}{6}$]，k∈Z…（5分）
（2）由f（C）=-2sin（C-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}+1$，可得sin（C-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，可得-$\frac{π}{3}$＜C-$\frac{π}{3}$＜$\frac{2π}{3}$
∴可解得：C=$\frac{π}{6}$，
由S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$有ab=2$\sqrt{3}$，
由c²=a²+b²-2abcosC有a²+b²=7，…（8分）
∴a+b=$\sqrt{3}+2$，…（10分）
∴sinA+sinB=$\frac{（a+b）sinC}{c}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换，三角函数的图象与性质，余弦定理，正弦定理以及三角形面积公式的应用，熟练掌握相关定理是解题的关键，属于基本知识的考查．