Question

（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示, 其正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.

（Ⅰ）证明：⊥平面；

（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

（10见解析；（2）.

【解析】（1）由三视图和直观图可得两两垂直，可以分别为轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量的数量积证明,，由线面垂直的判定定理得⊥平面；（2）在（1）的条件下，分别求出平面的一个法向量,平面的一个法向量．所以二面角C－NB₁－C₁的余弦值为。

证明:∵该几何体的正视图为矩形,左视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形, ∴两两垂直.以分别为轴建立空间直角坐标系如图．--------------2分

则．

∴，

．------------4分

∴,.

又与相交于，

∴⊥平面.   -------------------6分

（Ⅱ）∵⊥平面,

∴是平面的一个法向量,     ------------8分

设为平面的一个法向量,

则,

所以可取．                      ------------10分

则．

∴所求二面角C－NB₁－C₁的余弦值为．    ------------12分