Question

已知函数f（x）=x³-ax²，其中a为实常数．
（1）设当x∈（0，1）时，函数y=f（x）图象上任一点P处的切线的斜线率为k，若k≥-1，求a的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f（x）+a（x²-3x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据导数的几何意义可将题转化为求使得f'（x）=3x²-2ax≥-1，x∈（0，1）恒成立的a的取值范围，进而利用分离参数即可求得结果；
（2）求函数g（x）=f（x）+a（x²-3x）=x³-3ax，x∈[-1，1]的导数，对方程g′（x）=3x²-3a=3（x²-a）=0有无实根，和有根，根是否在区间[-1，1]内进行讨论，求得函数的极值，再与f（-1）、f（1）比较大小，确定函数的最大值．

解答：解：（1）∴k=f'（x）=3x²-2ax，x∈（0，1）．
由k≥-1，得3x²-2ax+1≥0，即a≤

3x2+1

2x

=

1

2

(3x+

1

x

)恒成立
∴a≤

1

2

（3x+

1

x

）_min
∵当x∈（0，1）时，3x+

1

x

≥2

3x• 1 x

=2

3

，当且仅当x

3

3

时取等号．
∴（3x+

1

x

）_min=

3

．故a的取值范围是（-∞，

3

]．
（2）设g（x）=f（x）+a（x²-3x）=x³-3ax，x∈[-1，1]则
g′（x）=3x²-3a=3（x²-a）．
①当a≥1时，∴g′（x）≤0．从而g（x）在[-1，1]上是减函数．
∴g（x）的最大值为g（-1）=3a-1．
②当0＜a＜1时，g′（x）=3（x+

a

）（x-

a

）．
由g′（x）＞0得，x＞

a

或x＜-

a

：由g′（x）＜0得，-

a

＜x＜

a

．
∴g（x）在[-1，-

a

]，[

a

，1]上增函数，在[-

a

，

a

]上减函数．
∴g（x）的极大值为g（-

a

）=2a

a

．
由g（-

a

）-g（1）=2a

a

+3a-1=（

a

+1）²•（2

a

-1）知
当2

a

-1＜0，即0≤a＜

1

4

时，g（-

a

）＜g（1）
∴g（x）_max=g（1）=1-3a．
当2

a

-1≥0，即

1

4

＜a＜1时，g（-

a

）≥g（1）
∴g（x）_max=g（-

a

）=2a

a

．
③当a≤0时，g′（x）≥0，从而g（x）在[-1，1]上是增函数．
∴g（x）_max=g（1）=1-3a
综上分析，g（x）_max=

3a-1，(a≥1) 2a a ，( 1 4 ≤a＜1) 1-3a，(a＜ 1 4 )

点评：考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，对方程g′（x）═0有无实根，和有根，根是否在区间[-1，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度，同时考查了运算能力，属难题．