Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx在x=α与x=β处有两上不同的极值点，设f（x）在点（-1，f（-1））处切线为l₁，其斜率为k₁；在点
（1，f（1））利的切线为l₂，其斜率为k₂．
（1）若l1⊥l2，|α-β|=

10

3

，求bc.
（2）若α=-

1

2

，β∈(0，1)，求k₁k₂的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出求出函数的导函数，因为两直线垂直得到斜率乘积为-1，即f′（-1）•f′（1）=-1得到一个式子①，因为α和β为方程的两个根，利用根与系数的关系表示出|α-β|，代入到|α-β|=

10

3

中得到②，然后①②解得b和c即可；
（2）把α=-

1

2

代入到导函数中得到b与c的关系③，又因为β∈（0，1）得到f′（0）＜0，f′（1）＞0得到b与c的等式④，由③④解出c的取值范围，而表示出k₁k₂，由c的范围即可得到k₁k₂的范围．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c∵l₁⊥l₂，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x²+2bx+c=0的两根，∴α+β=-

2b

3

，αβ=

c

3

.
又∵|α-β|=

10

3

，∴|α-β|2=(α+β)2-4αβ=

4b2

9

-4•

c

3

=

10

9

②
由①②得

c=0 b=± 10 2

或

c=6 b=± 82 2

（2）f′(x)=3x2+2bx+c，∵a=-

1

2

，f′(-

1

2

)=

3

4

-b+c=0，∴b=c+

3

4

③
∵β∈(0，1)，∴f′(0)＜0，f′(1)＞0，∴

c＜0 3+2b+c＞0

④
由③④得：-

3

2

＜c＜0
k1k2=(3+2b+c)(3-2b+c)=(3c+

9

2

)(

3

2

-c)=-3c2+

27

4

，∴k1k2∈(0，

27

4

)

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，利用导数研究曲线上某点切线方程的能力，以及会求直线的斜率．