题目内容

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各侧棱和底面的边长均为a，点D是CC₁上任意一点，连接A₁B，BD，A₁D，AD，则三棱锥A-A₁BD的体积为 ________．

$\text{[math]}$
分析：画出图形可知，三棱锥A-A₁BD的体积等于三棱锥B-AA₁D的体积．三棱锥B-AA₁D中，底面AA₁D面积易求，三棱锥的高是△ABC的高，再由棱锥的体积公式可求得．
解答：如图，由题意得；三棱锥A-A₁BD的体积等于三棱锥B-AA₁D的体积．

所以， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ h= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ •a•a• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题用棱柱为载体考查棱锥的体积，关键要选取适当的底面和高，这是求三棱锥体积常用的方法．

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直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=BB₁=1，AB₁=

（1）求证：平面AB₁C⊥平面B₁CB；
（2）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁=a，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（1）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（2）求C₁到平面B₁AC的距离；
（3）求三棱锥A₁-AB₁C的体积．

如图，在直三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AA₁=1，AC⊥BC，AC=BC=2，则BC₁与平面AB B₁ A₁所成角的正弦值是（　　）

如图，在直三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AA₁=1，AC⊥BC，AC=BC=2，则BC₁与平面AB B₁ A₁所成角的正弦值是

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

如图，在直三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，AA₁=1，AC⊥BC，AC=BC=2，则BC₁与平面AB B₁ A₁所成角的正弦值是（）