Question

已知直线l:y=4x与点P(6,4)，在l上求一点Q，使直线PQ与直线l，以及x轴在第一象限内围成的三角形面积最小.

Answer 1

解：设点Q(x₀,4x₀),①当x₀=6时，PQ⊥x轴，S_△=×6×4×6=72.

②当x₀≠6时，∴直线PQ的倾斜角大于直线l的倾斜角.∴＞4或＜0.解得x₀＞6或1＜x₀＜6.

直线PQ的方程：y-4=(x-6).

令y=0，得x=.

∴S_△=·×4x₀=.

设x₀-1=t,∵x₀∈(1,6)∪(6,+∞),

∴t∈(0,5)∪(5,+∞).

∴S_△==10(t++2)≥10×(2+2)=40,40＜72.

∴S_△的最小值=40.此时t=t=1x₀=2.∴Q(2,8).