Question

设函数 
（1）证明 当，时，；
（2）讨论在定义域内的零点个数，并证明你的结论.

Answer 1

（1）见解析；（2） 时有唯一零点 ，时，有两个零点，时有唯一零点， 时无零点.

试题分析：（1）构造新函数后证明>0恒成立即可；（2）当时通过单调性可知零点只有一个，当时通过的最大值与0的比较即可判断零点情况.
试题解析：(1),令 ，
 ，令 ，则令 ，令 ， .
令 得 .当 时 单调递增， 时 单调递减，
又 ， ，∴在上恒小于零.即当时 单调递减.
又 ，∴当时，>0恒成立，即.
(2) .
1°当 时， 恒成立,即 单调递增，此时 ， ，此时的零点在 上.
2°当 时， ， .
∴在 上单调递增，在 上单调递减，∴ 为的最大值点.
令 可得 即当时有唯一零点；
当 时， ，此时有两个零点 ， ；
当 时， ，∴在 上无零点.
综上所述， 时有唯一零点 ，
时，有两个零点，
时有唯一零点，
 时无零点.