Question

设函数f（x）=lnx+x²+ax
（1）若x=

1

2

时，f（x）取得极值，求a的值；
（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数，根据若x=

1

2

时，f（x）取得极值得f′（

1

2

）=0，解之即可；
（2）f（x）在其定义域内为增函数可转化成只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0恒成立，建立不等关系，解之即可；

解答：解：f′(x)=

1

x

+2x+a=

2x2+ax+1

x

，
（1）因为 x=

1

2

时，f（x）取得极值，所以 f′(

1

2

)=0，
即2+1+a=0，故a=-3．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞）．
方程2x²+ax+1=0的判别式△=a²-8，
①当△≤0，即 -2

2

≤a≤2

2

时，2x²+ax+1≥0，f'（x）≥0在（0，+∞）内恒成立，此时f（x）为增函数．
②当△＞0，即 a＜-2

2

或 a＞2

2

时，
要使f（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，
只需在（0，+∞）内有2x²+ax+1≥0即可，
设h（x）=2x²+ax+1，
由

h(0)=1＞0 - a 2×2 ＜0

得a＞0，所以 a＞2

2

．
由①②可知，若f（x）在其定义域内为增函数，a的取值范围是 [-2

2

，+∞)．

点评：本题以函数为载体．主要考查了了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性和不等式的证明，属于中档题