Question

15．已知坐标平面内两点A=（$\sqrt{3}$，-1），B=（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$），O为原点．
（1）证明OA⊥OB；
（2）设$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{OB}$，若存在不同时为零的实数k、t，使得$\overrightarrow{x}$=$\overrightarrow{a}$+（t²-3）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，求函数关系式k=f（t）．

Answer 1

分析 （1）欲证明OA⊥OB，只需证得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0即可；
（2）由题意可得 $\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，即[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）]（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）=0．再由|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow{b}$|=1可得-4k+t（t²-3）=0，化简可得函数关系式k=f（t）．

解答 （1）证明：因为$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=（$\sqrt{3}$，-1）•（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$+（-1）×$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$=0，
所以0A⊥0B；
（2）解：由已知，得|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{{（\sqrt{3}）}^2}+{{（-1）}^2}}$=2，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{{（\frac{1}{2}）}^2}+{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}$=1，
由于$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，所以$\overrightarrow{x}$•$\overrightarrow{y}$=0，
即[$\overrightarrow{a}$+（t²-3）]（-k$\overrightarrow{a}$+t$\overrightarrow{b}$）=0．
所以-ka²+ta•b-k（t²-3）b•a+t （t²-3）b²=0．
由a•b=0，所以-4k+t（t²-3）=0．
所以k=$\frac{1}{4}$t（t²-3）．
由已知k、t不同时为零，得f（t）=$\frac{1}{4}$t（t²-3）（t≠0）．

点评 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，高次不等式的解法，属于基础题．