Question

已知函数f（x）=，
（Ⅰ）若函数在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式f（x）≥恒成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）求证[（n+1）！]²＞（n+1）·e^n-2（n∈N*）。

Answer 1

解：（Ⅰ）因为，x＞0，则，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
所以函数f（x）在x=1处取得极大值，
因为函数f（x）在区间（a，a+）（其中a＞0）上存在极值，
所以；
（Ⅱ）不等式，
即为，
记，
所以，
 令，
∵x≥1，
∴，
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，
∴，
从而g′（x）＞0，
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴，
所以k≤2。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，
即，
令x=n（n+1），
则，
所以，
，
，
………… ……
，
叠加得：
，
则，
所以。