Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为f（x）的不动点．如果函数有且只有两个不动点0，2，且．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}满足，求数列通项a_n；
（3）如果数列{a_n}满足a_n=f（a_n），求证：当n≥2时，恒有a_n＜3成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）如果设，整理得：（1-b）x²+cx+a=0，由根与系数的关系得：，解得，代入f（x），并由f（-2）＜，得c＜3，且c，b∈N，f（x）=x有且只有两个不动点，得c、b的值，从而得f（x）解析式．
（2）由题意，知，所以，2S_n=a_n-a_n² ①；又a_n≠1，把n-1代替n得：2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，②；
①-②得：a_n，a_n-1的关系，从而得数列{a_n}是等差数列，通项公式为a_n=-n；
（3）证法（一）：可用反证法，即假设a_n＞3（n≥2），由（1）知，
作商比较，知＜1，∴数列{a_n}是递减数列，且最大项a₂=，这与假设矛盾，从而证得结论成立．
证法（二）：由，解得a_n+1＜0或a_n+1≥2，当a_n+1＜0，结论成立；当a_n+1≥2时，因n≥2，数列{a_n}单调递减，且，知a_n＜3成立．
解答：解：（1）设得：（1-b）x²+cx+a=0，由根与系数的关系，得：，
解得，代入解析式，由，
得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴．
（2）由题设，知，所以，2S_n=a_n-a_n² ①；
且a_n≠1，以n-1代n得：2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，②；
由①-②得：2a_n=（a_n-a_n-1）-（a_n²-a_n-1²），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，以n=1代入①得：2a₁=a₁-a₁²，
解得a₁=0（舍去）或a₁=-1；由a₁=-1，若a_n=-a_n-1得a₂=1，这与a_n≠1矛盾，
∴a_n-a_n-1=-1，即{a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，∴a_n=-n；
（3）证法（一）：运用反证法，假设a_n＞3（n≥2），则由（1）知，
∴
∴a_n＜a_n-1＜…＜a₂，而当
这与假设矛盾，故假设不成立，∴a_n＜3．
证法（二）：由
得a_n+1＜0或a_n+1≥2，若a_n+1＜0，则a_n+1＜0＜3，结论成立；
若a_n+1≥2，此时n≥2，从而，
即数列{a_n}在n≥2时单调递减，由，可知上成立．
点评：本题考查了数列与函数的综合应用，也考查了不等式的应用问题，是较难的综合题；解题时要细心分析，精心作答，避免出错．