Question

已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；
(3)在(2)的条件下，证明直线与轴相交于定点．

Answer 1

(1)(2)或(3)见解析

本试题主要是考查了椭圆方程求解以及直线与圆的位置关系的运用，直线与椭圆的位置关系的综合运用。
（1）因为椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．根据椭圆的性质和线圆的位置关系得到a,b的值。
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理得到参数k，然后借助于判别式得到范围。
（3）设点，则，直线的方程为
令，得，将代入整理，得．得到两根的关系式，结合韦达定理得到定点。
解：⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．………4分
⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为  ①
联立消去得：，……..6分
由得，……….7分
又不合题意，
所以直线的斜率的取值范围是或．……….9分
⑶设点，则，直线的方程为
令，得，将代入整理，得．     ②…………….12分
由得①代入②整理，得，
所以直线与轴相交于定点．……….14分