Question

f（x）是定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足

xf′(x)-f(x)

x2

≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（　　）

A．af（a）≥bf（b）

B．af（b）≥bf（a）

C．af（b）≤bf（a）

D．af（a）≤bf（b）

Answer 1

分析：先构造函数，再由导数与原函数的单调性的关系解决．

解答：解：

xf′(x)-f(x)

x2

≤0⇒xf′（x）+f（x）≤0⇒[xf（x）]′≤0
⇒函数F（x）=xf（x）在（0，+∞）上为常函数或递减，
又0＜a＜b且f（x）非负，于是有：af（a）≥bf（b）≥0，①
任意的正数a，b，若a＜b可得

1

a2

＞

1

b2

＞0，②
①②两式对应相乘得：

f(a)

a

≥

f(b)

b

≥0⇒af（b）≤bf（a），
故选C．

点评：本题考查函数的单调性和导数的关系，解题时要认真审题，注意导数的合理运用，本题的难点在对不等式②的设计，需要经验更需要灵感．