题目内容
（1）对于定义在（0，+∞）上的函数f（x），满足xf′（x）+2f（x）＜0，求证：函数y=x2f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（2）请你认真研读（1）中命题并联系以下命题：若f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，满足xf′（x）+f（x）＜0，则y=xf（x）是（0，+∞）上的减函数．然后填空建立一个普遍化的命题：设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，n∈N+，若
注：命题的普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大集合．
（3）证明（2）中建立的普遍化命题．
（2）请你认真研读（1）中命题并联系以下命题：若f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，满足xf′（x）+f（x）＜0，则y=xf（x）是（0，+∞）上的减函数．然后填空建立一个普遍化的命题：设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，n∈N+，若
x
x
×f′（x）+n×f（x）＜0，则y=xnf（x）
y=xnf（x）
是（0，+∞）上的减函数．注：命题的普遍化就是从考虑一个对象过渡到考虑包含该对象的一个集合；或者从考虑一个较小的集合过渡到考虑包含该较小集合的更大集合．
（3）证明（2）中建立的普遍化命题．
分析：（1）当x＞0时，用x乘以xf′（x）+2f（x）＜0，得[x2f（x）]′＜0，即得证；
（2）考查类比推理，若x×f′（x）+n×f（x）＜0，则y=xnf（x）是（0，+∞）上的减函数；
（3）利用导数来证明函数的单调性．
（2）考查类比推理，若x×f′（x）+n×f（x）＜0，则y=xnf（x）是（0，+∞）上的减函数；
（3）利用导数来证明函数的单调性．
解答：（1）证明：当x＞0时，用x乘以xf′（x）+2f（x）＜0，得[x2f（x）]′＜0，
所以，函数y=x2f（x）在（0，+∞）上是减函数；…（4分）
（2）类比（1）可知，设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，n∈N+，
若x×f′（x）+n×f（x）＜0，则y=xnf（x）是（0，+∞）上的减函数；…．（4分）
（3）证明：由于f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，n∈N+，
则xn-1＞0，
若x×f′（x）+n×f（x）＜0，则xn-1[x×f′（x）+n×f（x）]=[xnf（x）]′＜0，
所以y=xnf（x）是（0，+∞）上的减函数．…（4分）
所以，函数y=x2f（x）在（0，+∞）上是减函数；…（4分）
（2）类比（1）可知，设f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，n∈N+，
若x×f′（x）+n×f（x）＜0，则y=xnf（x）是（0，+∞）上的减函数；…．（4分）
（3）证明：由于f（x）是定义在（0，+∞）上的可导函数，n∈N+，
则xn-1＞0，
若x×f′（x）+n×f（x）＜0，则xn-1[x×f′（x）+n×f（x）]=[xnf（x）]′＜0，
所以y=xnf（x）是（0，+∞）上的减函数．…（4分）
点评：主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，属于中档题．
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