Question

已知过原点O的一条直线与函数y＝log₈x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log₂x的图象交于C、D两点．

(1)证明：点C、D和原点O在同一直线上；

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

本小题考查直线的斜率的应用三点共线的判断以及对数函数等基础知识，考查运算能力、数形结合能力和分析问题的能力． 　　(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2，由题设知x1＞1，x2＞1，则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2． 　　∵A、B在过点O的直线上， 　　∴＝． 　　点C、D的坐标分别为(x1，log2x1)，(x2，log2x2)． 　　又∵log2x1＝＝3log8x1，同理log2x2＝3log8x2． 　　kOC＝＝，kOD＝＝． 　　可知，kOC＝kOD，∴O、C、D在同一直线上． 　　(2)解：∵lBC∥x轴，∴log2x1＝log8x2， 　　即log2x1＝log2x2．∴x2＝x13． 　　代入＝得x13log8x1＝3log8x1(x1＞1)． 　　∴x1＝．此时A点坐标为(，log8)．