题目内容

 

椭圆（a ,b >0）的两个焦点，点P在椭圆C上，且，。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l过圆的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程。

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 （Ⅰ）∵点P在椭圆C上      ∴   （1分）

       在Rt△中，       （1分）

故椭圆的半焦距，从而= 4，        （2分）

所以椭圆C的方程为：.                   （2分）

 （Ⅱ） 已知圆的方程为

所以圆心M的坐标为（--2，1）     （1分）

设A、B的坐标分别为，由题意且

 ①

 ②

由①—②得 ③        （1分）

因为A、B关于点M对称，所以

带入③得，即直线的斜率为，       （2分）

所以直线l的方程为，即     （2分）

（经检验，所求直线方程符合题意）

 

练习册系列答案
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如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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已知椭圆
x2
2
+y2=1的左焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线l交椭圆于A、B两点．
（1）若直线l的倾斜角α=
π
4
，求|AB|；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程；
（3）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，
线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点F1(-
5
，0)，若椭圆上存在一点D，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段DF1相切于线段DF1的中点F．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知两点Q（-2，0），M（0，1）及椭圆G：
9x2
a2
+
y2
b2
=1，过点Q作斜率为k的直线l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过椭圆G的顶点？
（Ⅲ） 过坐标原点O的直线交椭圆W：
9x2
2a2
+
4y2
b2
=1于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．

如图,已知椭圆+=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.

(1)若点G的横坐标为-,求直线AB的斜率.

(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.

如图,已知椭圆+=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D,E两点.

(1)若点G的横坐标为-,求直线AB的斜率.

(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.

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