Question

 如图四棱锥P－ABCD的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，PC与平面ABCD成45°角，E、F分别为PA、PB的中点．  

（1）求异面直线DE与AF所成角的大小；

（2）设M是PC上的动点，试问当M在何处时，才能使AM⊥平面PBD，证明你的结论． 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，F(1，0，)，D(0，2，0)，E(0，0，)；(1，0，)，(0，－2，)．  

设与的夹角为θ，

则cos＝＝＝，

∴DE与AF所成的角为arccos． 

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．

        又ABCD是正方形，∴BD⊥AC，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AM．

       由题意可设M点坐标为(t，t，2(2－t’)，

∴又P(0，0，2)，B(2，0，0)，＝(2，0，－2)． 

设AM⊥PB，∴· ＝0，即2t－2×(2－t)＝0．  

∴t＝，∴||＝，又||＝4，

∴M在＝2这位置于，AM⊥平面PBD．