Question

【题目】已知函数f(x)＝ lnx－x＋，其中a>0.

(1)若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，求a的取值范围；

(2)设a∈(1，e]，当x1∈(0,1)，x2∈(1，＋∞)时，记f(x2)－f(x1)的最大值为M(a)．那么M(a)是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）a∈(0,1)∪(1，＋∞)．（2）

【解析】试题分析：（1）即导函数在(0，＋∞)上变号，讨论导函数零点大小，可得导函数符号变化规律，进而得a的取值范围；（2）根据函数单调性得f(x2)最大值为f(a)，f(x1)最小值为f(，即得M(a)．利用导数研究M(a)单调性，即得M(a)最大值

试题解析：(1)f′(x)＝－1－＝，x∈(0，＋∞)．

①当a＝1时，f′(x)＝－≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，不存在极值点；

②当a>0且a≠1时，f′(a)＝f′＝0.经检验a，均为f(x)的极值点．

∴a∈(0,1)∪(1，＋∞)．

(2)当a∈(1，e]时，0<<1<a.由(1)知，当f′(x)>0时， <x<a；当f′(x)<0时，x>a或x<.

∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减．

∴对x1∈(0,1)，有f(x1)≥f；对x2∈(1，＋∞)，有f(x2)≤f(a)．

∴[f(x2)－f(x1)]max＝f(a)－f.

∴M(a)＝f(a)－f＝－

＝2，a∈(1，e]．

M′(a)＝2lna＋2＋2＝2lna，a∈(1，e]．

∴M′(a)>0，即M(a)在(1，e]上单调递增．

∴M(a)max＝M(e)＝2＋2＝.

∴M(a)存在最大值.