Question

【题目】数列{an}与{bn}满足：①a1=a＜0，b1=b＞0，②当k≥2时，若ak﹣1+bk﹣1≥0，则ak=ak﹣1 ， bk= ；若ak﹣1+bk﹣1＜0，则ak= ，bk=bk﹣1 ．
（Ⅰ）若a=﹣1，b=1，求a2 ， b2 ， a3 ， b3的值；
（Ⅱ）设Sn=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（bn﹣an），求Sn（用a，b表示）；
（Ⅲ）若存在n∈N* ， 对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有bk﹣1＞bk ， 求n的最大值（用a，b表示）．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a2=﹣1，b2=0，a3= ，b3=0；
（Ⅱ）∵ = ， = ，
∴无论是ak﹣1+bk﹣1≥0，还是ak﹣1+bk﹣1＜0，都有bk﹣ak= ，
即{bk﹣ak}是以b1﹣a1=b﹣a为首项， 为公比的等比数列，
所以Sn=（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+…+（bn﹣an）= ；
（Ⅲ）∵bk﹣1＞bk ， 及数列{an}与{bn}满足的关系，
∴ak﹣1+bk﹣1≥0，∴ak=ak﹣1 ，
即对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有ak=a，
由（Ⅱ）知bk﹣ak= ，∴bk=a+ ，
所以ak﹣1+bk﹣1= ，解得 ，
所以n的最大值为不超过 的最大整数
【解析】（Ⅰ）由题意可直接写出答案；（Ⅱ）分情况计算bk﹣ak ， 得{bk﹣ak}是以b1﹣a1=b﹣a为首项， 为公比的等比数列，从而可得Sn；（Ⅲ）由bk﹣1＞bk ， 数列{an}与{bn}满足的关系倒推出对任意正整数k，当2≤k≤n时，恒有ak=a，结合（Ⅱ）知 ，解之即可．