题目内容
2014年2月开始西非爆发了大规模的埃博拉病毒（Ebola virus）疫情．到目前为止，该病毒已导致感染病例超过2万人，死亡近8000人．2014年9月，世卫组织（WHO）称某国科学家正在研究针对埃博拉病毒的两种疫苗（δ-疫苗和σ-疫苗）：用若干个试验组进行对比试验，每个试验组有4只猕猴，并将猕猴编号，其中每组①②号注射δ-疫苗，而③④注射σ-疫苗，然后观察疗效．若在一个试验组中，注射δ-疫苗有效的猕猴的只数比注射σ-疫苗有效的猕猴的只数多，就称该试验组为“控制组”．设每只猕猴注射δ-疫苗有效的概率为
，注射σ-疫苗有效的概率为
．
（I）求一个试验组的每只猕猴注射疫苗后都有效的概率；
（Ⅱ）若观察三个不同的试验组，用ξ表示这三个试验组中“控制组”的个数，求ξ的分布列及其数学期望．
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
（I）求一个试验组的每只猕猴注射疫苗后都有效的概率；
（Ⅱ）若观察三个不同的试验组，用ξ表示这三个试验组中“控制组”的个数，求ξ的分布列及其数学期望．
考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）设事件A表示一个试验组的每只猕猴注射疫苗后都有效，利用相互独立事件概率乘法公式能求出一个试验组的每只猕猴注射疫苗后都有效的概率．
（Ⅱ）依题意，一个试验组为“控制组”的情况有3类：注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的1只有效；注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的0只有效；注射δ-疫苗的1支有效，注射σ-疫苗的0只有效．从而得到随机变量ξ～B（3，
），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
（Ⅱ）依题意，一个试验组为“控制组”的情况有3类：注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的1只有效；注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的0只有效；注射δ-疫苗的1支有效，注射σ-疫苗的0只有效．从而得到随机变量ξ～B（3，
| 4 |
| 9 |
解答：
解：（Ⅰ）设事件A表示一个试验组的每只猕猴注射疫苗后都有效，
则P（A）=(
)2(
)2=
．
（Ⅱ）依题意，一个试验组为“控制组”的情况有3类：
注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的1只有效，
概率为P1=(
)2•
(
)2=
，
注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的0只有效，
概率为：P2=（
）2•（
）2=
，
注射δ-疫苗的1支有效，注射σ-疫苗的0只有效，
概率为P3=
•
•
•(
)2=
，
∴一个试验组为“控制组”的概率为P=P1+P2+P3=
+
+
=
，
∴随机变量ξ～B（3，
），
P（ξ=0）=
(
)3=
，
P（ξ=1）=
(
)(
)2=
，
P（ξ=2）=
(
)2(
)=
，
P（ξ=3）=
(
)3=
，
∴ξ的分布列为：
∵ξ～B（3，
），∴Eξ=3×
=
．
则P（A）=(
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 9 |
（Ⅱ）依题意，一个试验组为“控制组”的情况有3类：
注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的1只有效，
概率为P1=(
| 2 |
| 3 |
| C | 1 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 9 |
注射δ-疫苗的2支有效，注射σ-疫苗的0只有效，
概率为：P2=（
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 9 |
注射δ-疫苗的1支有效，注射σ-疫苗的0只有效，
概率为P3=
| C | 1 2 |
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 9 |
∴一个试验组为“控制组”的概率为P=P1+P2+P3=
| 2 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 1 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
∴随机变量ξ～B（3，
| 4 |
| 9 |
P（ξ=0）=
| C | 0 3 |
| 5 |
| 9 |
| 125 |
| 729 |
P（ξ=1）=
| C | 1 3 |
| 4 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 300 |
| 729 |
P（ξ=2）=
| C | 2 3 |
| 4 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
| 240 |
| 729 |
P（ξ=3）=
| C | 3 3 |
| 4 |
| 9 |
| 64 |
| 729 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知复数z=
，则|z|=（ ）
| 1 |
| i(i+1) |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
已知
=（sinα，cosα），
=（-2，1），若
⊥
，则tanα的值为（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
| A、-2 | ||
| B、2 | ||
C、
| ||
D、-
|
设集合A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A∪B中元素的个数为（ ）
| A、5 | B、6 | C、7 | D、8 |
某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，
如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱长都是底面边长的