Question

在平面直角坐标系中，已知点E(-1，0)，点F(1，0)，动点P满足条件|PE|+|PF|=4．

(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)经过E点作直线与(Ⅰ)中的轨迹C相交于M、N两点，且，求直线MN的方程．

Answer 1

解：(Ⅰ)∵|PE|+|PF|=4＞|EF|，

由椭圆的定义知，点P的轨迹C是以E(-l，0)、F(1，0)为焦点，长轴长为4的椭圆．

∴P的轨迹C的方程为=1．

(Ⅱ)由已知，直线MN经过点E(-1，0)，且=2，当直线MN斜率不存在时，不满足题意．当直线MN斜率存在时，设直线MN的方程为y=k(x+1)，

代入=1，并化简，得

(3+4k²)x²+8k²x+4k²-12=0，△＞0．

设M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，则x₁+x₂= ，①

x₁·x₂=  ②

∵=2，∴x₁+2x₂=-3．③

由①②③，得直线MN的斜率k=±．

∴直线MN的方程为y=± (x+1)．