题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，g（x）=asin（ $数学公式$ ）-2a+2（a＞0），给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0， $数学公式$ ]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是 $数学公式$ ．
其中所有正确结论的序号是________．

①②④
分析：①由于f（x）= $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ ＜x≤1时，f（x）=2[（x+2）+ $\text{[math]}$ ]-8，利用双钩型函数h（z）=2（z+ $\text{[math]}$ ）-8在z∈（ $\text{[math]}$ ，3]上单调递增，可求f（x）的值域为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]；当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，利用f（x）=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 为减函数，可求f（x）的值域为[0， $\text{[math]}$ ]，从而可判断①的正误；
对于②，可求g（x）=-acos $\text{[math]}$ x-2a+2（a＞0），由0≤x≤1，可判断y=-cosx在[0， $\text{[math]}$ ]上单调递增，而a＞0，从而可判断函数g（x）在[0，1]上是增函数；
对于③，由g（x）=-acos $\text{[math]}$ x-2a+2（a＞0）知，2-3a≤-acos $\text{[math]}$ x-2a+2≤2- $\text{[math]}$ a，不妨令a=10，可求得g（x）∈（-28，-23），从而可判断③错误；
对于④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则0≤2-3a≤ $\text{[math]}$ 或0≤2- $\text{[math]}$ a≤ $\text{[math]}$ ，从而可求得a的范围，可判断其正误．
解答：∵ $\text{[math]}$ ＜x≤1时，f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2[（x+2）+ $\text{[math]}$ ]-8
而 $\text{[math]}$ ＜x+2≤3，令z=x+2，则z∈（ $\text{[math]}$ ，3]，
双钩型函数h（z）=2（z+ $\text{[math]}$ ）-8在z∈（ $\text{[math]}$ ，3]上单调递增，
∴h（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ -8= $\text{[math]}$ ，h（z）_max=h（3）= $\text{[math]}$ ，
∴当x∈（ $\text{[math]}$ ，1）时，f（x）的值域为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]；
当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，f（x）=- $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ 为减函数，f（x）的值域为[0， $\text{[math]}$ ]；
∴函数f（x）的值域为[0， $\text{[math]}$ ]，故①正确；
对于②，g（x）=asin（ $\text{[math]}$ ）-2a+2=-acos $\text{[math]}$ x-2a+2（a＞0），
∵0≤x≤1，
∴0≤ $\text{[math]}$ x≤ $\text{[math]}$ ，
∵y=cosx在[0， $\text{[math]}$ ]上单调递减，
∴y=-cosx在[0， $\text{[math]}$ ]上单调递增，又a＞0，
∴g（x）=-acos $\text{[math]}$ x-2a+2（a＞0）在[0，1]上是增函数，故②正确；
对于③，由g（x）=-acos $\text{[math]}$ x-2a+2（a＞0）知，
当0≤x≤1时，0≤ $\text{[math]}$ x≤ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ≤cos $\text{[math]}$ x≤1，又a＞0，
∴-a≤-acos $\text{[math]}$ x≤- $\text{[math]}$ ，
∴2-3a≤-acos $\text{[math]}$ x-2a+2≤2- $\text{[math]}$ a．
不妨令a=10，g（x）∈（-28，-23），而f（x）的值域为[0， $\text{[math]}$ ]，显然f（x）≠g（x），故③错误；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则0≤2-3a≤ $\text{[math]}$ 或0≤2- $\text{[math]}$ a≤ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ≤a≤ $\text{[math]}$ ，由于 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ，
∴[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]∪[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]=[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
故④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查复合三角函数的单调性，考查函数的值域，考查三角函数的诱导公式及综合应用，属于难题．