Question

设m∈R，A={（x，y）|y=-x+m}，B={（x，y）|x=cosθ，y=sinθ，0＜θ＜2π}，且A∩B={（cosθ₁，sinθ₁），（cosθ₂，sinθ₂）}（θ1≠θ2），求m的取值范围．

Answer 1

解：根据题意，直线y=-x+m与圆x²+y²=1（x≠1）交于两点，
∴＜1且0≠-×1+m．
∴-2＜m＜2且m≠，
所以m的取值范围是-2＜m＜2且m≠．
分析：集合A、B都是点集，集合A是直线上的点，集合B是除了一点（1，0）的单位圆上的所有点，A∩B={（cosθ₁，sinθ₁），（cosθ₂，sinθ₂）}（θ₁≠θ₂），说明直线y=-x+m与圆x²+y²=1（x≠1）交于两点，即圆心到直线的距离小于半径，且直线不过点（1，0），列出不等式，解可得答案．
点评：本题以集合为载体考查了直线圆的位置关系，属于一道中档题，题目比较有新意．