Question

用数学归纳法证明：1²-2²+3²-4²+…+（-1）^n-1n²=（-1）^n-1．

Answer 1

证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=（-1）⁰=1，
故：左边=右边，
∴当n=1时，等式成立；（3分）
（2）假设n=k时，等式成立，即 1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²=（-1）^k-1•．（6分）
那么1²-2²+3²-4²+…+（-1）^k-1•k²+（-1）^k•（k+1）²
=（-1）^k-1•+（-1）^k•（k+1）²
=（-1）^k（-k+2k+2）
=（-1）^（k+1）-1
即当n=k+1时，等式也成立． （10分）
根据（1）和（2）可知等式对任何n∈N₊都成立． （12分）
分析：用数学归纳法证明问题的步骤是：第一步，验证当n=n₀时命题成立，第二步假设当n=k时命题成立，那么再证明当n=k+1时命题也成立．关键是第二步中要充分用上归纳假设的结论．
点评：本题考查数学归纳法的思想，应用中要注意的是用上归纳假设的结论，否则会导致错误．属于中档题．