Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调增区间；

（2）若函数有两个极值点，且，证明：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析

【解析】分析：（1）求出函数的定义域为及函数的导数，令，分和分类讨论，即可得到函数的单调区间；

（2）求出函数的两个极值点，转化为，即证明，转化为证明成立，设函数，利用函数的单调性证明即可.

详解：（Ⅰ）由，得：

设函数

当时，即时，，，

所以函数在上单调递增.

当时，即时，

令得，，

当时，即时，在 上，，;

在上，，.

所以函数在，上单调递增，在上单调递减.

当时，即时，在上，，;

在上，，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在，上单调递增，

在上单调递减；

当时，函数在上单调递减，

在上单调递增.

（Ⅱ）证明：∵函数有两个极值点，且，

∴有两个不同的正根，

∴ ∴.

欲证明，即证明，

∵，

∴证明成立，等价于证明成立.

∵，∴.

设函数，

求导可得.

易知在上恒成立，

即在上单调递增，

∴，即在上恒成立，

∴函数有两个极值点，且时，.