Question

【题目】如图，四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，为的中点．

（Ⅰ）证明：∥平面；

（Ⅱ）设二面角为60°，=1，=，求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题（1）证明线面平行，根据判定定理就是要证线线平行，而平行线的寻找，又是根据线面平行的性质定理找到，设与交点为，过的平面与平面的交线就是，这就是要找的平行线，由中位线定理易证；（2）要求三棱锥的体积，关键是求得底面三角形的面积（高为到底面的距离，即为的一半），已知条件是二面角大小为，为此可以为轴建立空间直角坐标系，设 ，写出各点坐标，求得平面和平面的法向量，由法向量的夹角与二面角相等或互补可求得，从而可求得底面积，体积．

试题解析：（1）证明：连，设，连，

∵是的中点，∴，

∵平面，平面，

∴平面；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则

．

设 ．则．

设为平面的法向量，则

取．

又为平面的一个法向量，

∴，∴．

因为为的中点，所以三棱锥的高为，

∴．