题目内容

已知数列{a_n}中， $数学公式$ ，S_n是数列{a_n}的前n项和，则S₂₀₁₀=________．

-754
分析：列出数列的前几项，发现数列{a_n}是周期为4的周期数列．因此只要将S₂₀₁₀表示成前4项和的502倍，再加上a₁+a₂的值，即可得到它的值．
解答：∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =-1， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ =1=a₁， $\text{[math]}$ =-2=a₂，…
由此发现，数列{a_n}满足 $\text{[math]}$ ，是周期为4的周期数列．
∴S₂₀₁₀=（a₁+a₂+a₃+a₄）+（a₅+a₆+a₇+a₈）+…+（a₂₀₀₅+a₂₀₀₆+a₂₀₀₇+a₂₀₀₈）+a₂₀₀₉+a₂₀₁₀=502（a₁+a₂+a₃+a₄）+（a₁+a₂）=502（1-2-1+ $\text{[math]}$ ）+（1-2）=-754
故答案为：-754
点评：本题给出数列的前2项和递推公式，叫我们求它的2010项的和，考查了进行简单的合情推理和数列求和等知识，属于基础题．