Question

数列{a_n}满足下列条件：a₁=1，且对于任意的正整数n，恒有a_2n=a_n+n，则a₁₀₂₄=

1. A.
   1023
2. B.
   1024
3. C.
   512
4. D.
   2048

Answer 1

B
分析：直接由a_2n=a_n+n，可得a₁₀₂₄=a₅₁₂+512=a₅₁₂+2⁹=a₂₅₆+256+512=a₂₅₆+2⁸+2⁹=a₁₂₈+128+256+512=a₁₂₈+2⁷+2⁸+2⁹=a₆₄+2⁶+2⁷+2⁸+2⁹=…=a₂+2²+2³+…+2⁸+2⁹=a₁+1+2¹+2²+…+2⁸+2⁹=1+1+2¹+2²+…+2⁸+2⁹，再代入等比数列的求和公式即可求得结论．
解答：因为对于任意的正整数n，恒有a_2n=a_n+n，
所以：a₁₀₂₄=a₅₁₂+512=a₅₁₂+2⁹=a₂₅₆+256+512=a₂₅₆+2⁸+2⁹=a₁₂₈+128+256=a₁₂₈+2⁷+2⁸+2⁹
=a₆₄+2⁶+2⁷+2⁸+2⁹
=…
=a₂+2²+2³+…+2⁸+2⁹
=a₁+1+2¹+2²+…+2⁸+2⁹
=1+1+2¹+2²+…+2⁸+2⁹
=1+=1024．
故答案为1024．
点评：本题主要考查利用递推关系求数列中的特定项，在做这一类型题目时，一定要找到递推关系对应的规律，按规律解题．