Question

已知函数f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为，若时，y＝f(x)有极值．

(Ⅰ)求a、b、c的值；

(Ⅱ)求y＝f(x)在[－3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由，得 　　．　　　　　　　　　　　　　　2分 　　当x＝1时，切线l的斜率为3，可得2a＋b＝0．① 　　当时，有极值，则，可得4a＋3b＋4＝0．② 　　由①、②解得a＝2，b＝－4．　　　　　　　　　　　　　　5分 　　设切线l的方程为． 　　由原点到切线l的距离为， 　　则．解得m＝±1． 　　∵切线l不过第四象限， 　　∴m＝1．　　　　　　　　　　　　　　6分 　　由于l切点的横坐标为x＝1，∴． 　　∴1＋a＋b＋c＝4． 　　∴c＝5．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　7分 　　(Ⅱ)由(Ⅰ)可得， 　　∴．　　　　　　　　　　　　　　8分 　　令，得x＝－2，． 　　　　　　　　　11分 　　∴f(x)在x＝－2处取得极大值f(－2)＝13． 　　在处取得极小值＝． 　　又f(－3)＝8，f(1)＝4． 　　∴f(x)在[－3，1]上的最大值为13，最小值为．　　　　　　　13分