Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3），其中0＜a＜1，记函数f（x）的定义域为D．
（1）求函数f（x）的定义域D；
（2）若函数f（x）的最小值为-4，求a的值；
（3）若对于D内的任意实数x，不等式-x²+2mx-m²+2m＜1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于自变量x的不等式组，解得函数f（x）的定义域D；
（2）利用对数的运算性质，化简函数的解析式，并根据二次函数的图象和性质，可分析出函数f（x）的最小值为-4时，a的值
（3）若不等式-x²+2mx-m²+2m＜1恒成立，即-x²+2mx-m²+2m的最大值小于1，结合二次函数的图象和性质，分类讨论后，可得实数m的取值范围．
解答：解：（1）要使函数有意义：
则有，解得-3＜x＜1
∴函数的定义域D为（-3，1）…（2分）
（2）f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）=log_a（1-x）•（x+3）=log_a[-（x+1）²+4]，
∵x∈（-3，1）
∴0＜-（x+1）²+4≤4
∵0＜a＜1
∴log_a[-（x+1）²+4]≥log_a4，
f（x）的最小值为log_a4，
∴log_a4=-4，即a=
（3）由题知-x²+2mx-m²+2m＜1在x∈（-3，1）上恒成立，?x²-2mx+m²-2m+1＞0在x∈（-3，1）上恒成立，…（8分）
令g（x）=x²-2mx+m²-2m+1，x∈（-3，1），
配方得g（x）=（x-m）²-2m+1，其对称轴为x=m，
①当m≤-3时，g（x）在（-3，1）为增函数，∴g（-3）=（-3-m）²-2m+1=m²+4m+10≥0，
而m²+4m+10≥0对任意实数m恒成立，∴m≤-3．       …（10分）
②当-3＜m＜1时，函数g（x）在（-3，-1）为减函数，在（-1，1）为增函数，
∴g（m）=-2m+1＞0，解得m＜．∴-3＜m＜…（12分）
③当m≥1时，函数g（x）在（-3，1）为减函数，∴g（1）=（1-m）²-2m+1=m²-4m+2≥0，
解得m≥或m≤，∴-3＜m＜…（14分）
综上可得，实数m的取值范围是 （-∞，）∪[，+∞）    …（15分）
点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的定义域及求法，函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．