Question

记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x²+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m．
（Ⅰ）当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表示），并证明h（p）≥1；
（Ⅱ）写出h（p）的解析式（不必写出求解过程）；
（Ⅲ）在所有形如题设的函数f（x）中，求出这样的f（x），使得|f（x）|的最大值为最小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据每件0≤p≤2?-1≤-

p

2

≤0，又f（x）图象开口向上，得出最大值与最小值，从而求得h（p）并证明h（p）≥1；
（Ⅱ）对字母p进行分类讨论后写出出h（p）的解析式即可；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知h（p）的解析式，结合M-m≥1及取得最值的条件得出，p=0，M=1+q，m=q．最后结合由M=-m得1+q=-q求得q，最后写出所求函数式即可．

解答：解：（Ⅰ）0≤p≤2?-1≤-

p

2

≤0，又f（x）图象开口向上，
∴M=f(1)=1+p+q，m=f(-

p

2

)=q-

p2

4

∴h(p)=M-m=

1

4

(p+2)2≥1（4分）
（Ⅱ）h(p)=

-2p   (p＜-2) 1 4 (p-2)2，   (-2≤p＜0) 1 4 (p+2)2，   (0≤p≤2) 2p， ，      (p＞2)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知h(p)=M-m=

-2p＞4   (p＜-2) 1 4 (p-2)2＞1，   (-2≤p＜0) 1 4 (p+2)2≥1，   (0≤p≤2) 2p＞4， ，      (p＞2)

，∴M-m≥1．
∵在[-1，1]上，总有|f(x)|max≥

M-m

2

，当且仅当M=-m时取”=”；
又，

M-m

2

≥

1

2

，当且仅当p=0时取“=”，
∴当

M-m

2

=

1

2

时的f（x）符合条件．
此时，p=0，M=1+q，m=q．由M=-m得1+q=-q．∴q=-

1

2

即所求函数为：f（x）=x2-

1

2

．（13分）

点评：本小题主要考查函数解析式的求解及常用方法、函数的最值及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．