题目内容
平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0）、B（0，-2），点C满足
、β∈R，且α-2β=1（1）求点C的轨迹方程；
（2）设点C的轨迹与椭圆
交于两点M、N，且以MN为直径的圆过原点，求证：
；（3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率不大于
，求椭圆长轴长的取值范围．
【答案】分析：（1）由向量等式，得点C的坐标，消去参数即得点C的轨迹方程；
（2）将直线与椭圆方程组成方程组，利用方程思想，求出x1x2+y1y2，再结合向量的垂直关系得到关于a，b的关系，化简即得结论．
（3）由（2）得
从而 
又椭圆的离心率不大于
，得出 
．解得椭圆长轴长2a的取值范围即可．
解答：解：（1）设
∴
即点C的轨迹方程为x+y=1
（2）∴
设
由题意
∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2
=
∴
为定值
（3）∵
，
∵
，∴
∴
，
∴
∴椭圆实轴长的取值范围是
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．
（2）将直线与椭圆方程组成方程组，利用方程思想，求出x1x2+y1y2，再结合向量的垂直关系得到关于a，b的关系，化简即得结论．
（3）由（2）得
从而 又椭圆的离心率不大于，得出 ．解得椭圆长轴长2a的取值范围即可．解答：解：（1）设
∴
即点C的轨迹方程为x+y=1（2）∴
设
由题意
∴x1x2+（1-x1）（1-x2）=1-（x1+x2）+2x1x2
=
∴
为定值（3）∵
，∵
，∴∴
，∴
∴椭圆实轴长的取值范围是
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．
练习册系列答案
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平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3，1）、B（-1，3），若点C满足
=α
+β
，其中α、β∈R，且α+β=1，则点C的轨迹方程为（ ）
| OC |
| OA |
| OB |
| A、3x+2y-11=0 |
| B、（x-1）2+（y-2）2=5 |
| C、2x-y=0 |
| D、x+2y-5=0 |
已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，O为原点，设椭圆的方程为