Question

如图，等腰梯形OABC，底角为45°，各顶点的坐标分别为O（0，0），A（6，0），B（4，2），C（2，2）．一条与y轴平行的动直线l从O点开始做平行移动，到A点为止．设直线l与x轴的交点M，记OM=x，记梯形被直线l截得的在l左侧的图形面积为y．
（1）函数y=f（x）的解析式；
（2）求函数的定义域、值域；
（3）计算[f（

7

2

）]的值．

Answer 1

分析：（1）分直线l从O运动到C，从C运动到B，从B运动到A三种情况写出对应图形的面积，所以函数为分段函数；
（2）分段求出各部分的值域，取并集；
（3）根据

7

2

所在的区间代入相应的解析式求解．

解答：解：（1）当0≤x≤2，y=

1

2

x2，
当2＜x≤4时，y=

1

2

×2×2+2×(x-2)=2x-2．
当4＜x≤6时，y=

1

2

×2×2+2×2+

1

2

×2×2-

1

2

(6-x)2=-

1

2

x2+6x-10．
所以f(x)=

1 2 x2                (0≤x≤2) 2x-2               (2＜x≤4) - 1 2 x2+6x-10(4＜x≤6)

（2）函数定义域为[0，6]，
当0≤x≤2时，y=

1

2

x2∈[0，2]；
当2＜x≤4时，y=2x-2∈（2，6]；
当4＜x≤6时，y=-

1

2

x2+6x-10∈(6，8]，
所以函数值域为[0，8]．
（3）f(

7

2

)=2×

7

2

-2=5．

点评：本题考查了实际背景下的分段函数解析式的求解方法，解答的关键是根据变量在不同的区间段列不同的解析式，同时注意分段函数的定义域和值域都是各段的并集．