Question

设数列{u_n}是公差不为零的等差数列，|u₁₁|=|u₅₁|，u₂₀=22，设{u_n}的前n项和为S_n，{|u_n|}的前n项和为T_n．
（1）求u₃₁值；
（2）求T_n的表达式；
（3）求

lim

n→∞

Sn

Tn

的值．

Answer 1

分析：（1）由|u₁₁|=|u₅₁|且d≠0可得u₁₁=-u₅₁，结合等差数列的性质可得，u₁₁+u₅₁=2u₃₁=0，从而可求
（2）由（1）可得u₁=-30d，结合u₂₀=22可得d=-2，u₁=60，u_n=60+（n-1）×（-2）=-2n+62，Sn=60n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+61n
分n≤31，T_n=|u₁|+…+|u_n|=u₁+u₂+…+u_n=S_n；n≥32，T_n=|u₁|+|u₂|+…+|u₃₁|+…+|u_n|
=u₁+u₂+…+u₃₁-（u₃₂+…+u_n）=S₃₁-（S_n-S₃₁）=2S₃₁-S_n
（3）

lim

n→∞

Tn

Sn

=

lim

n→∞

61n-n2

n2-61n+1860

=

lim

n→∞

61 n -1

1- 61 n + 1860 n2

可求

解答：解：（1）∵|u₁₁|=|u₅₁|且d≠0
∴u₁₁=-u₅₁
由等差数列的性质可得，u₁₁+u₅₁=2u₃₁=0
∴u₃₁=0
（2）由（1）可得u₁=-30d
∴u₂₀=u₁+19d=-11d=22
∴d=-2，u₁=60，u_n=60+（n-1）×（-2）=-2n+62
∴Sn=60n+

n(n-1)

2

×(-2)=-n²+61n
当n≤31，T_n=|u₁|+…+|u_n|=u₁+u₂+…+u_n=S_n=-n²+61n
n≥32，T_n=|u₁|+|u₂|+…+|u₃₁|+…+|u_n|
=u₁+u₂+…+u₃₁-（u₃₂+…+u_n）
=S₃₁-（S_n-S₃₁）=2S₃₁-S_n=n²-61n+1860
（3）

lim

n→∞

Tn

Sn

=

lim

n→∞

61n-n2

n2-61n+1860

=

lim

n→∞

61 n -1

1- 61 n + 1860 n2

=-1

点评：本题主要考查了等差数列的性质、通项公式及求和公式的应用，数列极限的求解，体现了分类讨论的思想在解题中的应用．