Question

（2013•许昌三模）已知函数，f（x）=

x

3x+1

，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）
（I）求证数列{

1

an

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）记S_n=a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1，求S_n．

Answer 1

分析：（I）直接利用a_n+1=f（a_n）得到an+1=

an

3an+1

．再对其取倒数整理即可证数列{

1

an

}是等差数列；进而求出数列{a_n}的通项公式；
（II）利用（I）的结论以及所问问题的形式，直接利用裂项相消求和法即可求S_n．

解答：解：（I）由条件得，an+1=

an

3an+1

．
∴

1

an+1

=

1

an

+3⇒

1

an+1

-

1

an

=3．
∴数列{

1

an

}是首项为

1

a1

=1，公差d=3的等差数列．
∴

1

an

=1+（n-1）×3=3n-2．
故a_n=

1

3n-2

．
（II）∵a_na_n+1=

1

(3n-2)(3n+1)

=

1

3

（

1

3n-2

-

1

3n+1

）．
∴S_n═a₁a₂+a₂a₃+..a_na_n+1
=

1

3

[（1-

1

4

）+（

1

4

-

1

7

）+…+（

1

3n-2

-

1

3n+1

）]
=

1

3

（1-

1

3n+1

）=

n

3n+1

．

点评：本题第二问主要考查了数列求和的裂项相消法．裂项相消法一般适用于一数列的通项是一分式形式且分子为常数，而分母是某一等差数列相邻两项的乘积组成．