Question

【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为.

（1）求椭圆的方程式；

（2）已知动直线与椭圆相交于两点.

①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；

②已知点，求证： 为定值.

Answer 1

【答案】（1）＋＝1

（2）①±②见解析

【解析】试题分析：（1）解：因为椭圆C满足 ，根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得，据此即可求出椭圆C的标准方程；（2）①设将代入中，消元得，然后再利用韦达定理和中点坐标公式即可求出结果；②由①知， ，所以代入韦达定理化简即可证明结果.

试题解析：（1）解：因为椭圆C： 满足 ，

根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，

可得．

从而可解得，

所以椭圆C的标准方程为．

（2）①解：设

将代入中，

消元得，

， ，

因为AB中点的横坐标为，所以，解得．

②证明：由①知， ，

所以

．