Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，D是AC的中点，∠C₁DC=60°.

（1）求证：AB∥平面BC₁D；

（2）求二面角D-BC₁-C的大小.

Answer 1

解法一：（1）证明：连结OB交BC₁于O，则O是B₁C的中点，连结DO.

∵在△AB₁C 中，O、D均为中点.

∴AB₁∥DO.∵AB₁平面BC₁D，DO平面BC₁D，

∴AB₁∥平面BC₁D.

（2）解析：设正三棱柱底面边长为2，则DC=1.

∵∠C₁DC=60°,∴CC₁=.

作DE⊥BC₁于E，∵平面BCC₁⊥平面ABC，

∴DE⊥平面BCC₁B₁.作EF⊥BC₁于

F，连结DF，则DF⊥BC₁.

∴∠DFE是二面角D-BC₁-C的平面角在Rt△DEC中，DE=,EC=.在Rt△BFE中，EF=BE·sinC₁BC=.

∴在Rt△DEF中，tanDFE=.

∴二面角D-BC₁-C的大小为arctan.

解法二:(1)证明：以AC的中点D为原点建立坐标系,如右图,

设|AD|=1，

∵∠C₁DC=60°，

∴|CC₁|=.

则A（1，0，0），?B（0，，0），C（-1，0，0），A₁（1，0，）,B₁(0,,),C₁(-1,0,).

(1)连结B₁C交BC₁于O是B₁C的中点,连结DO,则O(-,,).=2.

∵AB₁平面BC₁D，

∴AB₁∥平面BC₁D.

(2)解析：=(-1,0,), =(1,,).

设平面BC₁D的法向量为n=(x,y,z)，则

则有y=0,令z=1，则n=(,0,1).

设平面BCC₁B₁的法向量为m=(x′,y′,z′)

=(0,0,),=(1,,),

即

∴z′=0,令y=-1,解得m=(,-1,0).

二面角D-BC₁-C的余弦值为cos＜n,m＞=,

∴二面角D-BC₁-C的大小为arccos.