Question

7．如图，F₁，F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，且|F₁F₂|=2．若双曲线C的右支上存在点P，使得PF₁⊥PF₂．设直线PF₂与y轴交于点A，且△APF₁的内切圆半径为$\frac{1}{2}$，则双曲线C的离心率为2．

Answer 1

分析 本题先根据直角三角形内切圆半径得到边长的关系，结合双曲线定义和图形的对称必，求出a的值，由|F₁F₂|=2，求出c的值，从而得到双曲线的离心率，得到本题结论．

解答 ：∵PF₁⊥PF₂，△APF₁的内切圆半径为$\frac{1}{2}$，
∴|PF₁|+|PA|-|AF₁|=1，
∴|PF₂|+2a+|PA|-|AF₁|=1，
∴|AF₂|-|AF₁|=1-2a，
∵由图形的对称性知：|AF₂|=|AF₁|，
∴a=$\frac{1}{2}$．
∵|F₁F₂|=2，
∴c=1，
∴e=$\frac{c}{a}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了双曲线的定义、图形的对称性，本题难度不大，属于中档题．