Question

【题目】已知二次函数 在时取得最小值，且函数的图象在轴上截得的线段长为．

（1）求函数的解析式；（2）当时，函数的最小值为，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由已知中二次函数在x=2时取得最小值，所以，且函数f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2，即，结合韦达定理即可求出a，b值，可得函数f（x）的解析式；

（2）由（1）知， 的对称轴是x=2，分析给定区间与对称的位置关系，结合当x∈[t，t+1]时，讨论求出最小值即可求参数的值.

试题解析：

解：因为二次函数在时取得最小值，

所以，即，所以，

设函数的图象在轴上的两个交点分别为，

所以. 因为函数的图象在轴上截得的线段长为．

则.所以.

所以

(2) 由(1)知， 的对称轴是，

①当时，即时，函数在区间上是单调减函数，

所以，即

所以.

②当时，即时， .（舍去）

③当时，函数在区间上是单调增函数，

，即，所以.

综合上所述， 或.