题目内容
一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别为A1B、B1C1的中点.
(1)求证:MN∥平面ACC1A1；
(2)求证:MN⊥平面A1BC.
证明:由题意，这个几何体是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC1.
(1)连接AC1、AB1，由直三棱柱的性质得AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1B1，则四边形ABB1A1为矩形.由矩形性质得AB1经过A1B的中点M，
又∵N为B1C1的中点，∴△AB1C1中，MN∥AC1.
又∵AC1
平面ACC1A1，MN平面ACC1A1.∴MN∥平面ACC1A1.
(2)∵直三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，且AC⊥BC,
∴BC⊥平面ACC1A1.又∵AC1
平面ACC1A1,
∴BC⊥AC1.在正方形ACC1A1中，AC1⊥A1C.
由(1)知MN∥AC1.∴MN⊥BC且MN∥A1C.
又∵BC∩A1C=C,∴MN⊥平面A1BC.
练习册系列答案
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18、一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别是AB1、A1C1的中点．
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