Question

已知函数f（x）=x^p+qx+r，f（1）=6，f′（1）=5，f′（0）=3，an=

1

f(n)

，n∈N+，则数列{a_n}的前n项和是

n

2n+4

．

Answer 1

分析：由f（x）=x^p+qx+r，知f'（x）=p•x^p-1+q，由f′（1）=5=p+q，f'（0）=3=q f（1）=6=1+q+r 解得p=2，q=3，r=2．于是f（x）=x²+3x+2，由an=

1

f(n)

，n∈N+，用裂项求和法能求出数列{a_n}的前n项和．

解答：解：∵f（x）=x^p+qx+r，
∴f'（x）=p•x^p-1+q，
∵f′（1）=5=p+q，f'（0）=3=q f（1）=6=1+q+r
解得p=2，q=3，r=2，
于是f（x）=x²+3x+2，
∵an=

1

f(n)

，n∈N+，
∴an=

1

n2+3n+2

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴数列{a_n}的前n项和：
Sn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

 +…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2(n+2)

=

n

2n+4

．
故答案为：

n

2n+4

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意函数的性质和导数的灵活运用，合理地运用裂项求和法进行解题．