Question

已知函数，函数g(x)的导函数，且
（1）求的极值；
（2）若，使得成立，试求实数m的取值范围：
（3）当a=0时，对于，求证：

Answer 1

（1）当a≥0时,没有极值；当a＜0时，取得极大值=;（2）；（3）见解析.

解析试题分析：（1）求函数定义域、导数，按照a≥0，a＜0两种情况讨论的符号变化，由极值定义可求得的极值；（2）先由条件求出，存在x∈（0，+∞），使得＜成立，即m＜成立．令=，x∈（0，+∞），则问题等价于m＜，利用基本不等式可判定导数研究的正负时，从而判定出函数的单调性，从而可求得；（3）当a=0时，先将具体化为，令==，利用导数通过研究的单调性、极值，从而得出函数的图像性质，求出的最小值，只要证明最小值大于零即证明了.
试题解析： （1）函数的定义域为（0，+∞），=（＞0）．
（i）当a≥0时，＞0，
函数在（0，+∞）上单调递增，故没有极值；
（ii）当a＜0时，==，
当x∈（0，﹣）时，＞0；当x∈（﹣，+∞）时，＜0，
∴当x=﹣时，取得极大值=．
（2）∵函数的导函数=，
∴=+c（其中c为常数）
由，得(1+c)e=e，故c=0，
∴=．
若存在x∈（0，+∞），使得＜成立，即m＜成立．
令=，x∈（0，+∞），则问题等价于m＜，
∴=1﹣，
∵当x∈（0，+∞）时，＞1，≥=，
∴＞1，故＜0，
∴在（0，+∞）上单调递减，
∴＜=3，故m＜3．
（3）解：当a=0时，=lnx，
令=﹣﹣2=