Question

已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ） 过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x-2于M、N两点，求|MN|的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；
（II）由题意，可A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．
解答：解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x²=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x²=4y
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为y=kx+1
由消去y，整理得x²-4kx-4=0
所以x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，从而有|x₁-x₂|==4
由解得点M的横坐标为x_M===，
同理可得点N的横坐标为x_N=
所以|MN|=|x_M-x_N|=|-|=8||=
令4k-3=t，t不为0，则k=
当t＞0时，|MN|=2＞2
当t＜0时，|MN|=2=2≥
综上所述，当t=-时，|MN|的最小值是
点评：本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用