Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点A（0，3），与双曲线 =1有相同的焦点
（1）求椭圆C的方程；
（2）过A点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆C于P，Q两点，则PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：双曲线 =1的焦点坐标为（3 ，0），（﹣3 ，0），

可得椭圆中的c=3 ，由椭圆过点A（0，3），可得b=3，

则a= =6，

则椭圆的方程为 + =1

（2）解：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣ ，

直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆x2+4y2﹣36=0，

可得（1+4k2）x2+24kx=0，

解得x1=﹣ ，y1=kx1+3= ，

即有P（﹣ ， ），

将上式中的k换为﹣ ，可得Q（ ， ），

则直线PQ的斜率为kPQ= = ，

直线PQ的方程为y﹣ = （x+ ），

可化为x（k2﹣1）﹣（5y+9）k=0，

可令x=0，5y+9=0，即x=0，y=﹣ ．

则PQ过定点（0，﹣ ）

【解析】（1）求得双曲线的焦点坐标，可得椭圆的c，由A点，可得b，求得a，即可得到椭圆方程；（2）设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），直线AP的斜率为k，直线AQ的斜率为﹣ ，直线AP的方程为y=kx+3，代入椭圆方程，求得P的坐标，k换为﹣ ，可得Q的坐标，求出直线PQ的斜率，以及方程，整理可得恒过定点．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．