Question

【题目】在平行四边形中，，，，是EA的中点（如图1），将沿CD折起到图2中的位置，得到四棱锥是．

（1）求证：平面PDA；

（2）若PD与平面ABCD所成的角为．且为锐角三角形，求平面PAD和平面PBC所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）

【解析】

（1）证明，，即可证明线面垂直；

（2）由线面角求得，以中点为坐标原点建立直角坐标系，由向量法求得二面角的余弦值.

（1）将沿CD折起过程中，平面PDA成立．证明如下：

是EA的中点，，，

在中，由余弦定理得，

，

，

，

为等腰直角三角形且，

，，，

平面PDA．

（2）由（1）知平面PDA，平面ABCD，

平面平面ABCD，

为锐角三角形，

在平面ABCD内的射影必在棱AD上，记为O，连接PO，平面ABCD，

则是PD与平面ABCD所成的角，

，

，

为等边三角形，O为AD的中点，

故以O为坐标原点，过点O且与CD平行的直线为x轴，

DA所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设x轴与BC交于点M，

，

易知

，

则，，，，

，，，

平面PDA，

可取平面PDA的一个法向量，

设平面PBC的法向量，

则，即，

令，则为平面PBC的一个法向量，

设平面PAD和平面PBC所成的角为，

由图易知为锐角，

．

平面PAD和平面PBC所成角的余弦值为．