Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1，a∈R是常数．
（1）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；
（2）证明函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；
（3）若函数y=f（x）有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）已知f（x）=lnx-ax+1，对你进行求导，根据导数和斜率的关系，求出切线的方程；
（2）作F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，利用导数证得任意x＞0且x≠1，F（x）＜0，从而有f（x）＜（1-a）x，即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．
（3）令y=0，进行变形lnx=ax-1，即a=

lnx+1

x

，令 g(x)=

lnx+1

x

，利用导数的方法，研究其单调性及最大值，从而求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-a…（2分）f（1）=-a+1，k_l=f'（1）=1-a，
所以切线l的方程为y-f（1）=k_l（x-1），即y=（1-a）x．…（4分）
（2）令F（x）=f（x）-（1-a）x=lnx-x+1，x＞0，
则F′(x)=

1

x

-1 =

1

x

(1-x) ，解F′(x)=0得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F'（x）	+	0	-
F（x）	↗	最大值	↘

F（1）＜0，所以?x＞0且x≠1，F（x）＜0，f（x）＜（1-a）x，
即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．      …（9分）
（3）y=f（x）有零点，即f（x）=lnx-ax+1=0有解，a=

lnx+1

x

．
令 g(x)=

lnx+1

x

，g′(x)=(

lnx+1

x

)′=

1-(lnx+1)

x2

=-

lnx

x2

，
解g'（x）=0得x=1．…（11分）
则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
当x=1时，g（x）的最大值为g（1）=1，
所以a≤1．…（13分）

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，还考查了数形结合的思想，是一道中档题．