Question

已知函数f（x）=xlnx。
（1）求f（x）的最小值；
（2）讨论关于x的方程f（x）-m=0（m∈R）的解的个数；
（3）当a>0，b>0时，求证：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+b）ln2。

Answer 1

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
f'（x）=lnx+1，令f'（x）=0，得
当x∈（0，+∞）时，f'（x），f（x）的变化情况如下：

所以f（x）在（0，+∞）上的最小值是。
（2）当时，f（x）单调递减且f（x）的取值范围是
当时，f（x）单调递增且f（x）的取值范围是
下面讨论f（x）-m=0的解：
所以，当时，原方程无解
当或m≥0时，原方程有唯一解
当时，原方程有两解。
（3）原不等式可化为：f（a）+f（a+b）-a]≥f（a+b）-（a+b）ln2，
设函数g（x）=f（x）+f（k-x）（k>0），
则g（x）=xlnx+（k-x）ln（k-x）（0＜x＜k）

令g'（x）＜0，解得：
令g'（x）>0，则
∴，
解得
∴函数g（x）在上单调递减，在上单调递增
∴g（x）在（0，k）上的最小值为
∴当x∈（0，k）时，总有
即
klnk-kln2=f（k）-kln2
令x=a，k-x=b，
则有：f（a）+f（b）≥f（a+b）-（a+ b）ln2。