Question

已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a₁，a₂， ，a_m和正数b₁，b₂， ，
b_m，使a，a₁，a₂， ，a_m，b是等差数列，a，b₁，b₂， ，b_m，b是等比数列．
（1）若m＝5，＝，求的值；
（2）若b＝λa(λ∈N^*，λ≥2)，如果存在n (n∈N^*，6≤n≤m)使得a_n－5＝b_n，求λ的最小值及此时m的值；
（3）求证：a_n＞b_n(n∈N*，n≤m)．

Answer 1

（1）;（2）最小值为4，此时为29;(3)详见解析

试题分析：（1）根据题意m＝5时，共有7项，设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，表示出，又由，可得到，解得;（2）由条件得，即，从而得，又由于，即，从而得，又题中有，可得， 化简消去a得：，观察此式结构特征：，则要求为有理数．即必须为有理数，而，可将用数字代入检验： 若，则为无理数，不满足条件; 同理，不满足条件; 当时，．要使为有理数，则必须为整数，要满足 ，可解得;(3)可假设，为数列的前项的和，我们易先证：若为递增数列，则为递增数列;同理可证，若为递减数列，则为递减数列;由于a和b的大小关系不确定，故要对其分类讨论：①当时，．当时，．即，即．因为，所以，即，即;②当时，同理可求得．
试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则．
．                                2分
因为，所以，解得．                4分
（2）因为，所以，从而得．
因为，所以，从而得．
因为，所以．
因为，所以（*）．                       6分
因为，所以为有理数．
要使（*）成立，则必须为有理数．
因为，所以．
若，则为无理数，不满足条件．
同理，不满足条件．                                        8分
当时，．要使为有理数，则必须为整数．
又因为，所以仅有满足条件．
所以，从而解得．
综上，最小值为4，此时为29．                             10分
(3)设，为数列的前项的和．
先证：若为递增数列，则为递增数列．
证明：当时，．    
因为，所以，即数列为递增数列．     
同理可证，若为递减数列，则为递减数列．                 12分
①当时，．当时，．
即，即．   
因为，
所以，即，即．      
②当时，，当时，．
即．
因为，所以．以下同①．
综上，．                                   16分